高一數(shù)學(xué)求函數(shù)值域的各種題型(高一數(shù)學(xué)函數(shù)值域求法)
哈嘍,大家好~~~我是小編田甜,關(guān)于高一數(shù)學(xué)求函數(shù)值域的各種題型,高一數(shù)學(xué)函數(shù)值域求法這個(gè)很多人還不知道,那么現(xiàn)在讓田甜帶著大家一起來看看吧!
函數(shù)值域(最值)求法小結(jié)一、配方法適用類型:二次函數(shù)及能通過換元法等轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的題型.【例1】 求函數(shù) 的值域.解:為便于計(jì)算不妨: 配方得: , 利用二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)得 ,從而得出: .【例2】已知函數(shù)y=(ex-a)2+(e-x-a)2(a∈R,a≠0)。
求函數(shù)y的最小值.解析:y=(ex-a)2+(e-x-a)2=(ex+e-x)2-2a(ex+e-x)+2a2-2.令t=ex+e-x,f(t)=t2-2at+2a2-2.∵t≥2,∴f(t)=t2-2at+2a2-2=(t-a)2+a2-2的定義域?yàn)閇2。
+∞).∵拋物線y=f(t)的對(duì)稱軸為t=a,∴當(dāng)a≤2且a≠0時(shí),ymin=f(2)=2(a-1)2;當(dāng)a>2時(shí)。
ymin=f(a)=a2-2.練習(xí) ○1 求y = sin2x - 6sinx + 2值域.○2 當(dāng)1≤x≤1000時(shí),求 y=(lgx)2-2lgx+3值域.二、換元法【例3】 求函數(shù) 的值域.適用類型:無理函數(shù)、三角函數(shù)(用三角代換).解析:由于題中含有 不便于計(jì)算,但如果令: 注意 從而得: 變形得 即: 【例4】 設(shè)a。
b∈R,a2+2b2=6,則a+b的最小值是______.解:∵a。
b∈R,a2+2b2=6,∴令a=6cosα。
2b=6sinα,α∈R.∴a+b=6cosα+3sinα=3sin(α+φ).∴a+b的最小值是-3;故填-3.練習(xí) ○3 已知 是圓 上的點(diǎn),試求 的值域.三、反函數(shù)法(變量分類法)【例5】求函數(shù) 的值域.解:原式中x∈R。
將原式化為 由○1解出x,得 ;(也可由 直接得到 )因此函數(shù)值域是(-1,1)四、不等式法利用不等式法求解函數(shù)最值。
主要是指運(yùn)用均值不等式及其變形公式來解決函數(shù)最值問題的一種方法.常常使用的基本不等式有以下幾種:a2+b2≥2ab(a,b為實(shí)數(shù));a+b2≥ab(a≥0,b≥0);ab≤a+b22≤a2+b22(a。
b為實(shí)數(shù)).【例6】設(shè)x,y,z為正實(shí)數(shù)。
x-2y+3z=0,則 的最小值為________.解析:因?yàn)閤-2y+3z=0,所以y=x+3z2。
因此y2xz=x2+9z2+6xz4xz.又x,z為正實(shí)數(shù),所以由基本不等式。
得y2xz≥6xz+6xz4xz=3,當(dāng)且僅當(dāng)x=3z時(shí)取“=”.故y2xz的最小值為3五、數(shù)形結(jié)合法【例7】適用類型:函數(shù)本身可和其幾何意義相聯(lián)系的函數(shù)類型. 六、判別式法把函數(shù)轉(zhuǎn)化為x的二次方程F(x,y)=0。
通過方程有實(shí)根,判別式Δ≥0,從而求得函數(shù)的最值.判別式法多用于求形如y=ax2+bx+cdx2+ex+f(a。
d不同時(shí)為0)的分式函數(shù)的最值.【例9】求函數(shù)y=x2-3x+4x2+3x+4的最大值和最小值.解析:∵x2+3x+4=0的判別式Δ1=32-4×1×4=-7<0,∴x2+3x+4>0對(duì)一切x∈R均成立.∴函數(shù)的定義域?yàn)镽.∴函數(shù)表達(dá)式可化為(y-1)x2+(3y+3)x+4y-4=0.當(dāng)y=1時(shí),x=0;當(dāng)y≠1時(shí)。
由x∈R,上面的一元二次方程必須有實(shí)根,∴Δ=(3y+3)2-4(y-1)(4y-4)≥0。
解得17≤y≤7(y≠1).綜上得ymax=7,ymin=17.七、函數(shù)單調(diào)性法【例10】設(shè)a>1,函數(shù)f(x)=logax在區(qū)間[a,2a]上的最大值與最小值之差為 12。
則a=________.解析:∵a>1,∴函數(shù)f(x)=logax在區(qū)間[a,2a]上是增函數(shù),∴函數(shù)在區(qū)間[a,2a]上的最大值與最小值分別為loga2a。
logaa=1.又∵它們的差為12,∴l(xiāng)oga2=12,a=4.八、導(dǎo)數(shù)法【例11】函數(shù)f(x)=x3-3x+1在閉區(qū)間[-3,0]上的最大值、最小值分別是________.解析:因?yàn)閒′(x)=3x2-3。
所以令f′(x)=0,得x=-1(舍正).又f(-3)=-17,f(-1)=3。
f(0)=1,比較得,f(x)的最大值為3。
最小值為-17.。
本文分享完畢,希望對(duì)大家有所幫助哦。
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