【arctanx的導數(shù)等于tanx的導數(shù)嗎】在數(shù)學中，反三角函數(shù)與三角函數(shù)之間的關系常常引起學生的疑惑。尤其是“arctanx的導數(shù)是否等于tanx的導數(shù)”這個問題，看似簡單，實則需要仔細分析。
為了更清晰地理解兩者的導數(shù)關系，我們從基本定義出發(fā)，逐步推導并對比兩者的結果，最終得出結論。
一、基礎知識回顧
- tanx 是正切函數(shù)，其定義域為 $ x \in \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\} $，值域為 $ (-\infty, +\infty) $。
- arctanx 是反正切函數(shù)，其定義域為 $ x \in \mathbb{R} $，值域為 $ \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) $。
兩者互為反函數(shù)，即：
$$
y = \arctan x \iff x = \tan y
$$
二、導數(shù)計算
1. tanx 的導數(shù)：
$$
\fracdzx093bjf{dx} (\tan x) = \sec^2 x
$$
2. arctanx 的導數(shù)：
利用反函數(shù)求導法則：
設 $ y = \arctan x $，則 $ x = \tan y $。
對兩邊關于 $ x $ 求導：
$$
1 = \fracdzx093bjf{dx} (\tan y) = \sec^2 y \cdot \frac{dy}{dx}
$$
因此，
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2 y} = \cos^2 y
$$
又因為 $ x = \tan y $，所以可以構造直角三角形，令對邊為 $ x $，鄰邊為 1，則斜邊為 $ \sqrt{1 + x^2} $，故：
$$
\cos y = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}
$$
因此，
$$
\fracdzx093bjf{dx} (\arctan x) = \cos^2 y = \frac{1}{1 + x^2}
$$
三、比較總結
| 函數(shù) | 導數(shù) | 是否相等 |
| $\tan x$ | $\sec^2 x$ | 否 |
| $\arctan x$ | $\frac{1}{1 + x^2}$ | 否 |
由此可見，arctanx 的導數(shù)并不等于 tanx 的導數(shù)，兩者是不同的函數(shù)，導數(shù)形式也不同。
四、常見誤區(qū)
- 混淆反函數(shù)與原函數(shù)的關系：雖然 arctanx 是 tanx 的反函數(shù)，但它們的導數(shù)并非互為倒數(shù)或相同。
- 誤認為反函數(shù)導數(shù)就是原函數(shù)導數(shù)的倒數(shù)：實際上，反函數(shù)的導數(shù)是原函數(shù)導數(shù)的倒數(shù)，但這僅適用于特定條件下，且結果并不等于原函數(shù)的導數(shù)本身。
五、結論
綜上所述：
- arctanx 的導數(shù)是 $\frac{1}{1 + x^2}$
- tanx 的導數(shù)是 $\sec^2 x$
- 兩者導數(shù)不相等
因此，arctanx 的導數(shù)不等于 tanx 的導數(shù)。
如果你對反函數(shù)導數(shù)的推導過程仍有疑問，建議結合圖像進行直觀理解，有助于加深對函數(shù)及其導數(shù)之間關系的認識。